기호논리학 9. 다중 양화 문장

 

다중 양화 문장(sentences containing multiple quantification)

x, y: 임의의 실수

Pxy : y=3+x

 

1) (∀x)(∀y)Pxy

모든 x에 대해, 모든 y가 Pxy를 참이 되게 만든다.

풀어 말하자면, x,y에 뭘 집어넣어도 참이 되면 위의 문장이 참이다.

(Pxy: x+y=x+y 면 성립)

따라서, 위의 문장은 거짓이다.

 

2) (∀x)(∃y)Pxy

모든 x에 대해, Pxy를 만족시키는 y가 하나는 존재한다.

풀어 말하자면, 모든 x에 대해서 y가 하나는 존재하면 된다. (위의 함수가 일대일함수 이면 된다.)

따라서, 위의 문장은 참이다.

 

3) (∀x)(∃y)Pyx (↔(∀y)(∃x)Pxy)

모든 x에 대해, Pyx를 만족시키는 y가 하나는 존재한다.

풀어 말하자면, 모든 y에 대해서 y가 하나는 존재하면 된다. (위의 것과 변항의 순서가 반대이다!)

(위의 함수가 일대일 대응이고, 양의 무한대와 음의 무한대의 극한이 반대쪽으로 발산하면 된다.)

따라서, 위의 문장은 참이다.

ex) Pyx: x=e^y 이면 거짓이다. 논의대상이 실수이기 때문에 x=-1일때 성립하는 y가 없다.

 

4)(∃x)(∀y) Pxy

어떤 x에 대해, 모든 y가 Pxy를 만족시킨다.

풀어 말하자면, y에 어떠한 실수를 대입하더라도 언제나 참으로 만드는 x가 적어도 한 개 존재한다.

(Pxy: x+y=y+3 이면 성립, x가 3일때 모든 y에 대해 성립한다.)

함수로 따지자면 Pxy 가 y=3 같은 세로로 뻗은 상수함수일때 성립할 것이다.

따라서, 위의 문장은 거짓이다.

 

5) (∃x)(∀y)Pyx (↔(∃y)(∀x)Pxy)

어떤 x에 대해, 모든 y가 Pyx를 만족시킨다.

풀어 말하자면, y에 어떠한 실수를 대입하더라도 언제나 참으로 만드는 x가 적어도 한 개 존재한다.

(Pxy: x+y=x+3 이면 성립, x가 3일때 모든 y에 대해 성립한다.)

4번과 식이 다르다는 것을 확인하자, 변항의 순서쌍이 바뀌었다. 이해하기 힘들다면 옆에 동치인 다중 양화 문장을 보면 이해할 수 있을 것이다.

함수로 따지자면 Pxy가 x=3 같은 가로로 뻗은 상수함수일때 성립할 것이다.

따라서, 위의 문장은 거짓이다.

 

6) (∃x)(∃y)Pxy

어떤 x에 대해, 모든 y가 Pxy를 만족시킨다.

풀어 말하자면, Pxy를 만족시키는 적어도 하나의 순서쌍이 존재한다.

따라서 위의 문장은 참이다.

(Pxy: x+y=x+y+1 이면 거짓이다.)

 

술어 논리의 논리적 동치

술어 논리의 문장 X와 Y는 논리적으로 동치이다. = df X와 Y는 모든 모형세계에서 같은 진리값을 가진다.

 

술어 논리 문장의 기호화

다음의 예를 기호화 해보자

Px: x는 한국인이다. Gx: x는 게임을 잘한다.

 

1) 어떤 한국인은 게임을 잘한다.

(∃x)(Px&Gx)

 

(∃x)(Px→Gx)는 성립하지 않는다. 왜나하면 논의 영역의 모든 사람이 한국인이라면 상관이 없겠지만, 한국인이 아닌 사람도 있다. 만약 x 가 한국인이 아니라면 Gx에 상관없이 성립하기 때문에 문장의 목적과 맞지 않는다.

 

2) 모든 한국인은 게임을 잘한다.

(∀x)(Px→Gx)

 

(∀x)(Px&Gx) 는 성립하지 않는다. 왜냐하면 논의 영역의 모든 사람이 한국인이라면 상관이 없겠지만, 논의 영역에서 한국인이 아닌 사람이 존재하기 때문이다. 만약 논의 영역 내에 미국사람이 존재한다면 위의 문장은 거짓이 되므로 문장의 목적에 맞지 않는다.

 

[참고문헌] 논리적 추론과 증명(이병덕)