기호논리학 5. 조건문과 쌍조건문, 필요조건과 충분조건

 

이 글에서 우리는 새로운 기호인 '→'와 '↔' 를 도입할 것이다.

앞 글에서의 문장 논리의 언어 SL의 완전한 문장 형성 규칙은 다음과 같다.

 

(1) 모든 단순 문장들은 SL의 문장이다. 그리고 각 단순 문장은 SL에서 영어 대문자에 의해 표시된다.

(2) 'X'가 SL의 문장이면 '(~X)'도 SL의 문장이다.

(3) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X&Y)'도 SL의 문장이다.

(4) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X∨Y)'도 SL의 문장이다.

(5) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X→Y)'도 SL의 문장이다.

(6) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X↔Y)'도 SL의 문장이다.

 

조건문(conditional)

'~ 이면, ~ 이다.' 를 기호화 하여 '→' 라 표시한다.

이때 화살표 뒤에 있는 문장을 전건, 화살표가 가리키는 문장을 후건이라고 한다.

ex) 비가 오면 땅이 젖을 것이다.

A→B [A: 비가 온다. B: 땅이 젖을 것이다.]

비가 오고 또한 나에게 우산이 없다면, 나는 비에 젖을 것이다.

(A&~B)→C [A: 비가 온다. B: 나에게 우산이 있다. C: 나는 비에 젖을 것이다.]

조건문의 진리 함수적 정의

P	Q	P → Q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

위의 진리표를 보면 알 수 있듯이 조건문의 진리 함수적 정의는 전건이 참이고 후건이 거짓일때는 거짓이지만 나머지의 경우에는 모두 참임을 알 수 있다.

조건문에 관련된 중요한 두가지 논리 규칙

당연하게도, 진리표를 그려보면 논리적 동치인 것을 쉽게 알 수 있다.

 

(1) 조건문 규칙(the Rules of the Conditional)

'X → Y' 는 '~(X & ~Y)'와 논리적 동치이다. 즉 (X →Y)≡~(X & ~Y).

(2) 대우 규칙(the Rule of Contraposition)

'X → Y'는 '~Y→~X'와 논리적 동치이다. 즉 (X → Y)≡(~Y→~X).

 

조건문의 비대칭성

A → B 와 B → A 는 논리적 동치가 아니다.

필요조건(necessary condition)과 충분조건(sufficient condition)

X는 Y의 충분조건이다. = X가 참이면 Y는 항상 참이다.

X는 Y의 필요조건이다. = X가 참이 아니면 Y는 항상 참이 아니다.

X는 Y의 충분조건이고, 동시에 필요조건이면 X는 Y의 필요충분조건이라고 부른다.

쌍조건문(biconditional)

쌍조건문의 기호인 '↔' 는 영어의 'if and only if'와 같이 필요충분조건을 기호화하기 위해 사용된다.

if and only if 를 굳이 번역한다면, '~고 또한 오직 그런 경우에만' 정도로 번역할 수 있을 것이다.'

 

Adam will marry Eve if and only if Eve is beautiful

아담은 이브가 아름답고 오직 그런 경우에만 이브와 결혼할 것이다.

 

위를 일반화하여 쌍조건문을 정의하면 다음과 같다.

A ↔ B ≡ (A → B)&(B → A)

약식 진리표 방법

모든 논증의 타당성을 확인할 때 진리표를 그리는 것은 매우 번거롭다.

이 번거로움을 해소하기 위해 고안되 것이 약식 진리표 방법이다.

(1) 전제들이 모두 참이라고 가정하고 결론은 거짓이라고 가정한다.

(2) 전제와 결론의 진리값에 맞도록 단순 문장들의 진리값들을 정한다.

(3) 만약 (1)에서의 가정이 맞는 단순 문장들의 진리값이 있다면, 이 논증은 부당하다.

하지만 가능한 모든 경우에서 (1)에서의 가정이 맞는 단순문장의 진리값이 없다면, 이 논증은 타당하다.

ex)

~A→(~M∨C) / G∨C / K→(L&~A) / C↔K // ~M∨C

         T               T             T              T             F

 

~M∨C 가 거짓이려면, M은 참이고 C는 거짓이여야 한다.

첫번째 전제에서 A는 참임을 알 수 있고, 2번째 전제에서 G도 참임을 알 수 있다.

3번째 전제에서 K가 거짓임을 알 수 있고, 자동으로 4번째 전제는 참이 된다.

A: 참 C: 거짓 M: 참 K: 거짓 G: 참 L: 참 or 거짓(상관 없음)

 

모든 전제가 참이고 결론이 거짓일 때의 단순 문장들의 진리값이 존재한다.

따라서, 위 문장은 부당하다.

만약, 위의 가정을 만족시키는 단순 문장들의 진리값이 존재하지 않았다면, 위 문장은 타당했을 것이다.

 

[참고문헌] 논리적 추론과 증명(이병덕)