기호논리학 3. 논리적 연결사

 

단순 문장과 복합 문장

단순 문장: 논리적 연결사를 포함하고 있지 않은 문장.

ex) A는 학생이다.

복합 문장: 논리적 연결사를 사용하여 구성된 문장.

ex) A는 학생이다 그리고 B는 학생이다.

진리표(truth table)

진리표: 논증의 참 거짓을 표로 나타낸 것.

ex)

 

G	~G
T	F
F	T

부정(negation)

한국어에서 '아니다' 즉, 영어에서 not의 의미를 가진다. 기호로 ' ~ '을 사용한다.

부정 기호: 주어진 문장의 진리값을 반대로 바꾸어 버리는 기호

G	~G
T	F
F	T

위의 진리표를 보면, 부정은 입력값이 T이면 출력값이 F이고, 입력값이 F이면 출력값이 T인 일종의 함수라는 것을 알 수 있다. 이와 같이, 부정을 진리값들의 함수로 정의하는 것을 '부정의 진리 함수적 정의'(the truth-functional definition of negation) 이라고 한다.

연언(conjunction)

논리적 연결사 '그리고' 즉 영어의 and 의 의미이다. 기호는 & 를 사용한다.

 

연언의 진리조건

G	Y	G&Y
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

위의 진리표를 보면 알 수 있듯이, 연언 문장 G&Y는 두 문장이 모두 참일때만 참이고, 그 외에는 거짓이 된다. 또, 이렇게 &의 의미를 정의하는 것을 '연언의 진리 함수적 정의'(the truth-functional definition of conjunction) 이라고 한다.

선언(disjunction)

논리적 연결사 '또는' 즉, 영어에서 or 의 의미를 가진다. 기호로는 '∨' 를 사용한다.

 

선언의 진리조건

G	Y	G∨Y
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

위의 진리표를 보면 알 수 있듯이, 선언에서는 두 구성 문장중 적어도 하나가 참이면 전체 문장을 참이게 해주는 것을 알 수 있다.

선언의 두 의미

연언과는 달리 선언의 '또는' 이란 의미는 애매하다.

또는(1) : 둘 중 하나이거나 혹은 둘 다 (비배타적 의미의 '또는',the inclusive or nonexclusive sense of 'or')

또는(2) : 둘 중 하나이지만 둘 다는 아닌 (배타적 의미의 '또는',the exclusive sense of 'or')

따라서 앞서 제시된 ∨는 비배타적 의미의 '또는'을 표현한 것이다.

배타적 의미의 또는은 다음과 같이 나타낸다.

(A∨B)&~(A&B)

연습문제

1. (A∨B)&~(A&B) 의 진리표를 그리시오.

 

2.

(1) 우리는 A는 참이고 B는 거짓임을 안다. 그러면 'A 또는 B' 는?

(2) 우리는 A가 참임을 알지만, B의 진리값은 알지 못한다. 그러면 'A 그리고 B' 는?

(3) 우리는 A가 거짓임을 알지만, B의 진리값은 알지 못한다. 그러면 'A 그리고 B' 는?

 

3. 단지 선비들과 사기꾼만이 사는 한 섬이 있다고 가정하자. 그리고 이 섬에는 다음의 규칙이 성립한다 선비들은 항상 진실만을 말하고, 사기꾼들은 항상 거짓만을 말한다. 진술을 분석하여 그가 선비인지 아니면 사기꾼인지를 결정하시오.

(1)  A: 적어도 우리들 중의 한 명은 사기꾼이다.

      B: A는 선비이다.

      C: B는 사기꾼이다.

(2)  A: 나는 선비이고 기껏해야 우리들 중의 한 명이 사기꾼이다.

      B: A는 사기꾼이다.

      C: A는 선비이다.

 

정답

1.

 

A	B	(A∨B)&~(A&B)
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

2.
(1) 참

(2) 알 수 없음
(3) 거짓

 

3.

(1) A, B: 선비, C: 사기꾼

(2) A,C: 선비 , B: 사기꾼

[참고문헌] 논리적 추론과 증명(이병덕)