기호논리학 4. 문장 논리의 언어와 진리표를 이용한 타당성 증명

 

SL의 문장 형성 규칙(The formation rules for SL)

(1) 모든 단순 문장들은 SL의 문장이다. 그리고 각 단순 문장은 SL에서 영어 대문자에 의해 표시된다.

예를 들어, '지구는 태양 주위를 돈다' 라는 단순 문장은 영어 대문자 'A' 로 표시될 수 있다.

(2) 'X'가 SL의 문장이면 '(~X)'도 SL의 문장이다.

(3) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X&Y)'도 SL의 문장이다.

(4) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X∨Y)'도 SL의 문장이다.

복합문장 형성의 규칙

(1) 가장 외곽의 괄호는 제거할 수 있다.

(A&B)에서 괄호를 제거하고 A&B로 나타낼 수 있다.

(2) 부정기호 '~' 는 그 다음에 나타나는 가장 짧은 문장에 적용된다.

~A&B는 (~A)&B이다. 다시말해 (~A)&B를 ~A&B로 나타낼 수 있다. ~(A&B)가 아니다!

주 연결사(main connective)

주 연결사: 그 문장을 그것의 구성 요소들로부터 구성할 때 마지막으로 사용된 논리적 연결사

문장 논리의 진리 함수적 특성

문장 논리의 언어 SL의 특성은 SL이 진리 함수적이란 것이다.

다시 말하면, 단순 문장의 진리값에 따라서 구성된 복합 문장의 진리값이 결정된다.

따라서, 복합 문장에서는 단순 문장의 진리값을 사용하여 진리표를 구성할 수 있다.

한국어 문장을 SL로 기호화하기

(1) 부정 기호 '~'는 모든 부정 문장을 기호화 하는데 사용한다.

ex) ~않는다. ~사실이 아니다. ~ 거짓이다. 등 부정 문장은 모두 ~로 기호화한다.

(2) 연언 기호 '&'는 '그리고', '또한', '그러나' 등과 같은 표현들을 기호화 하기 위해 사용된다.

ex) 나는 영리하고 그는 아름답다. --> A&B

나는 영리하지만, 그러나 그는 아름답다. --> A&B

내가 영리하다고는 하나, 그는 아름답다. --> A&B

(3) 선언 기호 '∨' 은 '또는', '혹은' 등과 같은 표현들을 기호화하는데 사용된다.

기본적인 논리 규칙

아래 논리 규칙들은 진리표를 사용하여 발견할 수 있다.

 

(1) 이중 부정 규칙(The Rule of Double Negation)

'X' 와 '~~X' 는 논리적 동치이다. X≡~~X

('≡'는 논리적 동치라는 기호이다.)

 

(2) 드 모르간의 규칙

~(X&Y)≡(~X∨~Y)

~(X∨Y)≡(~X&~Y)

 

(3) 교환 규칙

(X&Y)≡(Y&X)

(X∨Y)≡(Y∨X)

 

(4) 결합 규칙

((X&Y)&Z)≡(X&(Y&Z))

((X∨Y)∨Z)≡(X∨(Y∨Z))

 

(5) 분배 규칙

(X&(Y∨Z))≡((X&Y)∨(X&Z))

(X∨(Y&Z))≡((X∨Y)&(X∨Z))

논리적 참, 논리적 모순, 우연적 문장

X는 논리적으로 참이다 = X는 X를 구성하는 모든 단순 문장들의 진리값들에 상관없이 항상 참이다.

ex) A ∨ ~A

X는 논리적으로 거짓이다 = X는 X를 구성하는 모든 단순문장들의 진리값들에 상관없이 항상 거짓이다.

ex) A & ~A

X는 우연적으로 참인 문장이다 = X는 X를 구성하는 단순문장들의 진리값들에 따라서 참이 될 수도 있고 거짓이 될 수도 있다.

ex) A & B

진리표를 이용한 타당성 증명 (The Method of Truth Tables)

(1) 정의에 의해, 타당한 논증은 전제들이 참이면서 결론이 거짓이 되는 것이 불가능한 논증이다.

(2) 진리표는 한 논증을 구성하는 각 문장들이 모든 가능한 경우에 갖게 되는 진리값 전체를 제시한다.

(3) 따라서 전제들이 참이면서 결론이 거짓인 진리표의 가로줄이 없으면, 그 논증은 타당하다

반면에, 전제들이 참이면서 결론이 거짓인 가로줄이 있으면, 그 논증은 부당하다.

위의 내용을 가지고 진리표를 구성하여 논증의 타당성을 판별할 수 있다.

ex) 전제 1: A ∨ B

전제 2: A

결론: ~B

A	B	A ∨ B	A	~B
T	T	T	T	F
T	F	T	T	T
F	T	T	F	F
F	F	F	F	T

위의 진리표의 1열에서 모든 전제들이 참이지만 결론이 거짓인 경우가 존재한다는 것을 알 수 있다.

따라서, 위의 논증은 부당하다. 그리고, 1열과 같은 경우를 반례(counterexample)라고 부른다.

 

 

[참고문헌] 논리적 추론과 증명 (이병덕)