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예전 공부

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기호논리학 10. 술어 논리의 자연 연역 보편 양화사 제거 (∀ 제거)1. (∀x)A(x) 2. A(t)여기서 'A(t)'는 'A(x)'에 나타나는 모든 자유변항 'x'를 이름 't'로 대체함으로써 얻어진 대체예이다. 보편 양화문장의 대체예를 형성할 때, 대체되는 변항은 모든 곳에서 같은 이름으로 대체되어야 한다.ex) (∀x)Lxx에서 x를 a로 대체한다면 Lxa나 Lax 가 아닌 Laa가 되어야 한다. 변항을 이름으로 대체할때 양화사를 제거하고 자유 변항이 되는 것만 대체해 주어야 한다.ex) '(∀x)Ax→(∀x)Bx' 에서 첫번째 양화사를 제거하고 x를 e로 대체하면'Ae→(∀x)Bx' 두번째 x가 자유변항이 되지 않는다는 것에 주의하라. 존재 양화사 도입(∃ 도입)1. A(t) 2. (∃x)A(x)제한사항: 'A(t)' 에서 't'가 ..
기호논리학 9. 다중 양화 문장 다중 양화 문장(sentences containing multiple quantification)x, y: 임의의 실수Pxy : y=3+x 1) (∀x)(∀y)Pxy모든 x에 대해, 모든 y가 Pxy를 참이 되게 만든다.풀어 말하자면, x,y에 뭘 집어넣어도 참이 되면 위의 문장이 참이다.(Pxy: x+y=x+y 면 성립)따라서, 위의 문장은 거짓이다. 2) (∀x)(∃y)Pxy모든 x에 대해, Pxy를 만족시키는 y가 하나는 존재한다.풀어 말하자면, 모든 x에 대해서 y가 하나는 존재하면 된다. (위의 함수가 일대일함수 이면 된다.)따라서, 위의 문장은 참이다. 3) (∀x)(∃y)Pyx (↔(∀y)(∃x)Pxy)모든 x에 대해, Pyx를 만족시키는 y가 하나는 존재한다.풀어 말하자면, 모든 y에 대해..
기호논리학 8. 술어 논리 술어 논리의 뜻ex) 이브는 아담을 사랑한다. 따라서 어떤 사람은 아담을 사랑한다. 위의 두 문장을 보면 타당하다는 것을 알 수 있습니다. 하지만 문장 논리를 이용해서는 증명할 수 없습니다. 그래서 나온 것이 술어 논리입니다.간단히 말하면 문장 논리는 문장을 사용하여 타당성을 증명하였지만, 술어 논리에서는 문장안의 내용을 분리하여 표기합니다. 일항 술어 (one-place predicate)ex) 플라톤은 철학자이다. 소크라테스는 철학자이다.위의 예시에서 앞의 이름을 제거하면 "_____는 철학자이다" 를 얻을 수 있습니다. 이와 같이 일종의 문장 함수(sentential function)으로 간주하여, 공란을 문자로 대체합니다. x는 철학자이다. 이 상태에서 술어를 알파벳 대문자로 기호화 하고, 공란,..
기호논리학 7. 문장 논리의 파생 규칙 전의 글에서 문장 논리의 기본 추론 규칙 10개를 배웠다.물론, 그 10개로 논증의 타당성을 증명할 수 있지만, 증명에서의 복잡성을 줄이기 위해 11개의 파생 규칙을 도입할 것이다. (1) 이중 부정 도입 (double negation introduction) 1. X2. ~~X(2) 후건 부정 (denying the consequent) 1. X → Y 2. ~Y3. ~X 1. X → ~Y 2. Y3. ~X(3) 연쇄 논법 (chain argument) 1. X → Y 2. Y → Z3. X → Z(4) 대우 규칙 (contraposition) 1. X → Y 2. ~Y→~X(5) 약화 (weakening) 1. Y2. X → Y(6) 경우에 의한 논증 (argument by cases) 1. X ∨ ..
기호논리학 6. 10개의 기본 추론 규칙 (1) 조건 기호 제거 (→ 제거) (conditional elimination) 1. X → Y 2. X3. Y(2) 선언 기호 제거 (∨ 제거) (disjunction elimination) 1. X ∨ Y 2. ~X3. Y 1. X ∨ Y2. ~Y3. X(3) 선언 기호 도입 (∨ 도입) (disjunction introduction)1. X2. X ∨ Y  1. Y2. X ∨ Y(4) 조건 기호 도입 (→ 도입) (conditional introduction) 이 추론 규칙은 증명하고자 하는 결론이 'X → Y'의 형태의 조건문인 경우에 사용한다. 'X → Y' 는 'X'라는 가정 아래서 'Y' 가 성립한다는 조건적 주장(conditional claim) 이다.이런 조건적 주장을 증명하는 방법은 ..
기호논리학 5. 조건문과 쌍조건문, 필요조건과 충분조건 이 글에서 우리는 새로운 기호인 '→'와 '↔' 를 도입할 것이다.앞 글에서의 문장 논리의 언어 SL의 완전한 문장 형성 규칙은 다음과 같다. (1) 모든 단순 문장들은 SL의 문장이다. 그리고 각 단순 문장은 SL에서 영어 대문자에 의해 표시된다.(2) 'X'가 SL의 문장이면 '(~X)'도 SL의 문장이다.(3) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X&Y)'도 SL의 문장이다.(4) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X∨Y)'도 SL의 문장이다.(5) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X→Y)'도 SL의 문장이다.(6) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X↔Y)'도 SL의 문장이다. 조건문(conditional)'~ 이면, ~ 이다.' 를 기호화 하여 '→' 라 표시한다.이때 화살..
기호논리학 4. 문장 논리의 언어와 진리표를 이용한 타당성 증명 SL의 문장 형성 규칙(The formation rules for SL)(1) 모든 단순 문장들은 SL의 문장이다. 그리고 각 단순 문장은 SL에서 영어 대문자에 의해 표시된다.예를 들어, '지구는 태양 주위를 돈다' 라는 단순 문장은 영어 대문자 'A' 로 표시될 수 있다.(2) 'X'가 SL의 문장이면 '(~X)'도 SL의 문장이다.(3) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X&Y)'도 SL의 문장이다.(4) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X∨Y)'도 SL의 문장이다.복합문장 형성의 규칙(1) 가장 외곽의 괄호는 제거할 수 있다.(A&B)에서 괄호를 제거하고 A&B로 나타낼 수 있다.(2) 부정기호 '~' 는 그 다음에 나타나는 가장 짧은 문장에 적용된다.~A&B는 (~A)&B이다. 다시..
기호논리학 3. 논리적 연결사 단순 문장과 복합 문장단순 문장: 논리적 연결사를 포함하고 있지 않은 문장.ex) A는 학생이다.복합 문장: 논리적 연결사를 사용하여 구성된 문장.ex) A는 학생이다 그리고 B는 학생이다.진리표(truth table)진리표: 논증의 참 거짓을 표로 나타낸 것.ex) G~GTFFT부정(negation)한국어에서 '아니다' 즉, 영어에서 not의 의미를 가진다. 기호로 ' ~ '을 사용한다.부정 기호: 주어진 문장의 진리값을 반대로 바꾸어 버리는 기호G ~G T F F T 위의 진리표를 보면, 부정은 입력값이 T이면 출력값이 F이고, 입력값이 F이면 출력값이 T인 일종의 함수라는 것을 알 수 있다. 이와 같이, 부정을 진리값들의 함수로 정의하는 것을 '부정의 진리 함수적 정의'(the truth-func..

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