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기호논리학

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기호논리학 10. 술어 논리의 자연 연역 보편 양화사 제거 (∀ 제거)1. (∀x)A(x) 2. A(t)여기서 'A(t)'는 'A(x)'에 나타나는 모든 자유변항 'x'를 이름 't'로 대체함으로써 얻어진 대체예이다. 보편 양화문장의 대체예를 형성할 때, 대체되는 변항은 모든 곳에서 같은 이름으로 대체되어야 한다.ex) (∀x)Lxx에서 x를 a로 대체한다면 Lxa나 Lax 가 아닌 Laa가 되어야 한다. 변항을 이름으로 대체할때 양화사를 제거하고 자유 변항이 되는 것만 대체해 주어야 한다.ex) '(∀x)Ax→(∀x)Bx' 에서 첫번째 양화사를 제거하고 x를 e로 대체하면'Ae→(∀x)Bx' 두번째 x가 자유변항이 되지 않는다는 것에 주의하라. 존재 양화사 도입(∃ 도입)1. A(t) 2. (∃x)A(x)제한사항: 'A(t)' 에서 't'가 ..
기호논리학 9. 다중 양화 문장 다중 양화 문장(sentences containing multiple quantification)x, y: 임의의 실수Pxy : y=3+x 1) (∀x)(∀y)Pxy모든 x에 대해, 모든 y가 Pxy를 참이 되게 만든다.풀어 말하자면, x,y에 뭘 집어넣어도 참이 되면 위의 문장이 참이다.(Pxy: x+y=x+y 면 성립)따라서, 위의 문장은 거짓이다. 2) (∀x)(∃y)Pxy모든 x에 대해, Pxy를 만족시키는 y가 하나는 존재한다.풀어 말하자면, 모든 x에 대해서 y가 하나는 존재하면 된다. (위의 함수가 일대일함수 이면 된다.)따라서, 위의 문장은 참이다. 3) (∀x)(∃y)Pyx (↔(∀y)(∃x)Pxy)모든 x에 대해, Pyx를 만족시키는 y가 하나는 존재한다.풀어 말하자면, 모든 y에 대해..
기호논리학 8. 술어 논리 술어 논리의 뜻ex) 이브는 아담을 사랑한다. 따라서 어떤 사람은 아담을 사랑한다. 위의 두 문장을 보면 타당하다는 것을 알 수 있습니다. 하지만 문장 논리를 이용해서는 증명할 수 없습니다. 그래서 나온 것이 술어 논리입니다.간단히 말하면 문장 논리는 문장을 사용하여 타당성을 증명하였지만, 술어 논리에서는 문장안의 내용을 분리하여 표기합니다. 일항 술어 (one-place predicate)ex) 플라톤은 철학자이다. 소크라테스는 철학자이다.위의 예시에서 앞의 이름을 제거하면 "_____는 철학자이다" 를 얻을 수 있습니다. 이와 같이 일종의 문장 함수(sentential function)으로 간주하여, 공란을 문자로 대체합니다. x는 철학자이다. 이 상태에서 술어를 알파벳 대문자로 기호화 하고, 공란,..
기호논리학 7. 문장 논리의 파생 규칙 전의 글에서 문장 논리의 기본 추론 규칙 10개를 배웠다.물론, 그 10개로 논증의 타당성을 증명할 수 있지만, 증명에서의 복잡성을 줄이기 위해 11개의 파생 규칙을 도입할 것이다. (1) 이중 부정 도입 (double negation introduction) 1. X2. ~~X(2) 후건 부정 (denying the consequent) 1. X → Y 2. ~Y3. ~X 1. X → ~Y 2. Y3. ~X(3) 연쇄 논법 (chain argument) 1. X → Y 2. Y → Z3. X → Z(4) 대우 규칙 (contraposition) 1. X → Y 2. ~Y→~X(5) 약화 (weakening) 1. Y2. X → Y(6) 경우에 의한 논증 (argument by cases) 1. X ∨ ..
기호논리학 6. 10개의 기본 추론 규칙 (1) 조건 기호 제거 (→ 제거) (conditional elimination) 1. X → Y 2. X3. Y(2) 선언 기호 제거 (∨ 제거) (disjunction elimination) 1. X ∨ Y 2. ~X3. Y 1. X ∨ Y2. ~Y3. X(3) 선언 기호 도입 (∨ 도입) (disjunction introduction)1. X2. X ∨ Y  1. Y2. X ∨ Y(4) 조건 기호 도입 (→ 도입) (conditional introduction) 이 추론 규칙은 증명하고자 하는 결론이 'X → Y'의 형태의 조건문인 경우에 사용한다. 'X → Y' 는 'X'라는 가정 아래서 'Y' 가 성립한다는 조건적 주장(conditional claim) 이다.이런 조건적 주장을 증명하는 방법은 ..
기호논리학 4. 문장 논리의 언어와 진리표를 이용한 타당성 증명 SL의 문장 형성 규칙(The formation rules for SL)(1) 모든 단순 문장들은 SL의 문장이다. 그리고 각 단순 문장은 SL에서 영어 대문자에 의해 표시된다.예를 들어, '지구는 태양 주위를 돈다' 라는 단순 문장은 영어 대문자 'A' 로 표시될 수 있다.(2) 'X'가 SL의 문장이면 '(~X)'도 SL의 문장이다.(3) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X&Y)'도 SL의 문장이다.(4) 'X'와 'Y'가 SL의 문장들이면 '(X∨Y)'도 SL의 문장이다.복합문장 형성의 규칙(1) 가장 외곽의 괄호는 제거할 수 있다.(A&B)에서 괄호를 제거하고 A&B로 나타낼 수 있다.(2) 부정기호 '~' 는 그 다음에 나타나는 가장 짧은 문장에 적용된다.~A&B는 (~A)&B이다. 다시..
기호논리학 1. 논증의 의미 추론: 주어진 전제들로 부터 어떤 결론을 이끌어 내는 과정논증: 추론을 직접적으로 표현(말, 혹은 글)논증의 특성(1) 논증을 제시하는 사람은 전제들이 결론을 옹호한다는 점을 주장해야 한다.(2) 그는 전제들이 참이라고 주장해야 한다.논증이 아닌 예시(1) 나는 1998년에 태어났고, 내 동생은 2002년에 태어났다.위 경우에는 결론이 포함되어 있지 않으므로, 위의 진술의 경우는 단지 보고(report) 일 뿐이다.(2) 내가 공부를 열심히 해서, 시험을 잘 봤다.위 경우에서 앞에 문장이 뒤의 문장의 이유를 설명해 주지만, 뒤의 문장이 참이 되도록 하는 전제는 아니다. 결론 지시어(conclusion indicator)와 전제 지시어(premise indicator)결론 지시어: 이 진술이 결론임을 나타..

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